如果用相互垂直的三個(gè)坐標(biāo)軸分別表示三色系數(shù)R、G、B，則任意一個(gè)彩色F就能用三維空中的一個(gè)彩色矢量表征，如圖2.2－2所示。

四、分布色系數(shù)與混色曲線

利用配色試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)，常因人而異。因此，CIE推薦了一種國際通用的標(biāo)準(zhǔn)分布色系數(shù)數(shù)據(jù)，它是由很多正常視覺觀測者的觀測結(jié)果取平均所組成。所謂分布色系數(shù)是指輻射功率為1瓦（注意，不是1光瓦）波長為l 的單色光所需要的三基色的單位數(shù)，分別

用，和表示。若用表示輻射功率恒定為1瓦，但波長l 可改變的單色光，則通過大量實(shí)驗(yàn)，CIE分別于1931年和1964年公布了兩組分布色系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)。1931年的數(shù)據(jù)適用于1° ～4° 視場，1964年公布的數(shù)據(jù)適用于大于4° 的視場，表2－1列出了1931年CI公布的部分?jǐn)?shù)據(jù)。根據(jù)表2－1繪制出分布色系數(shù)曲線（稱為混色曲線），如圖2.2－3所示。

從圖2.2－3可見，每條曲線都有一段負(fù)值。其含義是：是可見光譜范圍內(nèi)，有些純度很高的物理學(xué)三基色直接相加得到，必須將帶負(fù)號(hào)的一個(gè)或二個(gè)基色搬到待配的半日單色光一邊，才能使比色計(jì)兩邊的彩色完全相同。

若已知某彩色的輻射功率譜,求其三色系數(shù)時(shí)，可不必再進(jìn)行配色實(shí)驗(yàn)，而直接根據(jù)CIE提供的分布色系數(shù)數(shù)據(jù)計(jì)算求出：在上式中，若彩色光是等能白光，其功率常數(shù)，又所以
上式說明三條混色曲線下的面積是相等的。

五、相對(duì)色系數(shù)與RGB色度圖

在許多情況下，只需要討論景物與圖象的色度，而不涉及其亮度。如前所述，色度只由三色系數(shù)R、G、B的比例決定，與它們的數(shù)值大小無關(guān)。為此，令三色系數(shù)之和為m
并令： 顯然上述式中，稱為色膜，反映了色光的亮度；r、g、b稱為相對(duì)色系數(shù)或色度坐標(biāo)，它們的每一組數(shù)值都確定了一種顏色的色度。由于相對(duì)色系數(shù)r、g、b之和等于1。所以知道其中任意二個(gè)（例如r和g）就可以算出第三個(gè)（例如b=1－r－g）。因此，可以用r－g平面坐標(biāo)作出包羅所有實(shí)際顏色的色度圖，即RGB系統(tǒng)色度圖。

圖2.2－4是RGB色度圖，首先確定三基色和標(biāo)準(zhǔn)白光E白的色度坐標(biāo)，它們的坐標(biāo)值如表2－2所示。

根據(jù)譜色光的分布色系數(shù)、、,可按下式
（2.2-1）

求出各譜色光的色度坐標(biāo)值，如表2－1所示。在色度圖中，譜色光的軌跡是一條舌形曲線，稱為譜色軌跡。

[R]、[B]之連線所示的色光是由紅基色和藍(lán)基色合成的，中點(diǎn)為品紅色，而譜色光380nm和780nm兩點(diǎn)坐標(biāo)之連線所示色光是紫色與紅色合成的，中點(diǎn)為紫紅色，不過這兩條直線幾乎是一條直線，顏色也較相近。[R]、[B]連線上的顏色是非常譜色，它和舌形曲線組成一個(gè)封閉的馬蹄形區(qū)域。自然界的一功顏色都在該區(qū)域內(nèi)，稱為實(shí)際顏色；在該區(qū)域外沒有實(shí)際顏色，稱為虛色。

彩色光的色度坐標(biāo)越靠近譜色軌跡，其飽和度愈高；而愈靠近E白，其飽和度愈低。

六、麥克斯韋計(jì)色三角形

麥克斯韋（J.C.Maxwall）首先用等邊三角形簡單而直觀地表示顏色的色度，這個(gè)三角形稱為Maxwell顏色三角形，如圖2.2－5所示。它的三個(gè)頂點(diǎn)分別表示[R]、[G]、[B]，三角形內(nèi)任一點(diǎn)都代表自然界的一種顏色，如果設(shè)每個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離為1，則三角形內(nèi)任一點(diǎn)P到三邊距離之和等于1（這由幾何知識(shí)不難證明）。如果令P點(diǎn)到紅、綠、藍(lán)三頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的三邊的距離分別為r、g、b，則r、g、b就是P點(diǎn)所代表彩色的色度坐標(biāo)，表2－3列出了紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、品紅、E白的色度坐標(biāo)值，由這些色度坐標(biāo)值就可以確定它們?cè)邴溈怂鬼f顏色三角形中的位置，如圖2.2－5所示。

七、彩色的合成

通過大量配色試驗(yàn)證明：合成彩色的三系數(shù)分別等于各混合彩色對(duì)應(yīng)色系數(shù)之和。根據(jù)上述規(guī)律，可以不必進(jìn)行配色試驗(yàn)，而通過“計(jì)算法”或“圖解法”求出合成彩色。

1、計(jì)算法

已知：兩個(gè)彩色光和的配色方程分別為

求：，相混后的合成光依上述彩色光的相加規(guī)律有

除計(jì)算法外，還可以在r－g直角坐標(biāo)式或麥克斯韋三角形中，用圖解法求合成光的色度坐標(biāo)；這種方法完全類似于力學(xué)中求兩質(zhì)點(diǎn)重心的位置。詳述如下：

將（2.2－式2b）改寫成上式中

上式中所示列三個(gè)公式與力學(xué)求重心的公式相類似，因此，可采用求重心的方法，求解合成光的色度坐標(biāo)。在圖2.2－6所示的r－g直角坐標(biāo)系或麥克斯韋顏色三角形，先找到和的坐標(biāo)點(diǎn)，在和連線上反向地垂直引出兩段長度為和的線段和，其中r可為任意常數(shù)，直線和相交于C點(diǎn)，C點(diǎn)是合成光的坐標(biāo)。由此可見，和兩色光按不同比例混合時(shí)，合成光總是在直線上。

如果三個(gè)色光、、相混合，可以先將和相混合得到然后再將和相混合，得到合成光。不論三個(gè)色光按什么比例得混合，混合色光必然處在D 之內(nèi)。換句話說，利用三個(gè)基色只能混合得到以基色為頂點(diǎn)的三角形以內(nèi)的各種顏色。彩色電視中，應(yīng)使彩色顯像管三基色組成的三角形面積盡可能的大，這樣才能使重現(xiàn)的彩色更加豐富多彩。

2.2.2 XYZ計(jì)色制與CIE色度圖

RGB計(jì)色制的基礎(chǔ)是配色試驗(yàn)，它的物理意義明確，但使用不方便。因?yàn)椋仨氈啦噬獾娜齻€(gè)色系數(shù)R、G、B，才能處出其亮度； 分布色系數(shù)中存在負(fù)值，用求和法近似計(jì)算色系數(shù)時(shí)，容易出錯(cuò)；自然界某些實(shí)色的相對(duì)色系數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，它們的坐標(biāo)不全在第一象限，作圖不方便，為了克服上述缺點(diǎn)，1931年CIE在RGB計(jì)色制的基礎(chǔ)上采用三個(gè)虛設(shè)的顏色作為計(jì)算三基色單位，分別用[X]、[Y]、[Z]表示，從而建立了XYZ計(jì)色制，并繪制了新的色度圖－－CIE色度圖。

XYZ計(jì)色制不能象RGB計(jì)色制那樣，一切計(jì)算結(jié)果都可以通過配色試驗(yàn)來驗(yàn)證，它是在RGB制的基礎(chǔ)上通過數(shù)學(xué)運(yùn)算轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的一種計(jì)色制。在學(xué)習(xí)XYZ制時(shí)，要注意與RGB制進(jìn)行對(duì)比，抓住它們的異同點(diǎn)以及相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。

一、基色單位的選定

設(shè)XYZ的三基色單位是[X]、[Y]、[Z]，則任一彩色的配色方程為

F＝X[X]＋Y[Y]＋Z[Z] （2.2-15）

式中，X、Y、Z稱為三色系數(shù)，三基色單位的選定基于如下考慮：

1、要求自然界所有實(shí)色的三個(gè)色系數(shù)X、Y、Z為非負(fù)數(shù)，以利于色度計(jì)算與作圖。

2、為了簡化彩色的亮度計(jì)算，規(guī)定彩色的亮度直接由色系數(shù)Y決定，且1[Y]的光通量是1光瓦，而與另外兩個(gè)色系數(shù)X、Z無關(guān)。彩色的色度仍由X、Y、Z的比值決定。

3、當(dāng)X＝Y(jié)＝Z，仍代表等能白光E白。

根據(jù)以上三點(diǎn)要求，就可以找出三基色單位[X]、[Y]、[Z]在r－g色度坐標(biāo)中的位置，從而確定了[X]、[Y]、[Z]與[R]、[G]、[B]之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。

按第一個(gè)要求，所有實(shí)色的X、Y、Z應(yīng)為非負(fù)數(shù)，故以[X]、[Y]、[Z]為頂點(diǎn)的三角形，必須包圍圖2.2-7中的馬蹄形區(qū)域，否則X、Y、Z將出現(xiàn)負(fù)數(shù)。在RGB色度圖中，由于540nm到700nm譜色軌跡近似為一直線，將其延長作為顏色三角形的[X]、[Y]邊。已知700nm和640nm的色度坐標(biāo)分別為g ＝1，g＝0和g ＝0.9797，g＝0.0205可寫出兩點(diǎn)式直線方程是

整理得直線[X][Y]的方程為

g ＋0.99g－1＝0 （2.2-16）

由于510nm至380nm之間的譜色軌跡為一曲線，CIE規(guī)定取一條與光譜軌跡上503nm點(diǎn)相靠近的直線作為[Y][Z]邊，這條直線的方程是

1.45g ＋0.55g＋1＝0 （2.2-17）

根據(jù)第二個(gè)要求，單位基色[X]和[Z]的光通量應(yīng)為零，X[X]和Z[Z]的合成光的光通量也應(yīng)為零，所以[X]、[Z]的連線是一條光通量等于零的直線，該直線的方程是

g ＋4.5907g＋0.0601b＝0

因?yàn)間 ＋g＋b＝1，所以上式可變成：

0.9399g ＋4.5306g＋0.0601＝0 （2.2-18）

上式就是零光通量直線[X][Z]的方程。

對(duì)以上三個(gè)直線方程式（2.2-16）、式（2.2-17）和式（2.2-18）兩兩聯(lián)立求解，可得到它們的交點(diǎn)[X]、[Y]、[Z]在g －g坐標(biāo)系中的色度坐標(biāo)值：

根據(jù)第二條規(guī)定，1[Y]的光通量等于1光瓦，所以

（2.2-21）

將式（2.2-19）中[Y]的坐標(biāo)值代入上式得 ＝0.0912

根據(jù)第三條規(guī)定，當(dāng)X＝Y(jié)＝Z時(shí)，仍代表等能白光E白，所以1[X]＋1[Y]＋1[Z]也應(yīng)代表1光瓦的E白。由式（2.2-20）可得：

1[X]＋1[Y]＋1[Z]＝

由式（2.2-4）可知，只有[R]、[G]、[B]前面三個(gè)色系數(shù)相等時(shí)，才能代表E白，所以可得下列兩個(gè)獨(dú)立的方程

將和式（2.2-19代入式，得）

把m值和式（2.2-19）代入式（2.2-20）得到由物理三基色單位[R]、[G]、[B]求計(jì)算三基色單位[X]、[Y]、[Z]的轉(zhuǎn)換關(guān)系式：

二、配色方程與色系數(shù)

XYZ制的配色方程已由式（2.2-15）給出，任一彩色可用

F＝X[X]＋Y[Y]＋Z[Z]

表示，X、Y、Z稱為三色系數(shù)。對(duì)同一彩色，也可以用RGB制的配色方程

F＝R[R]＋G[G]＋B[B]

R[R]＋G[G]＋B[B]＝X[X]＋Y[Y]＋Z[Z]

將式（2.2-25）代入上式右邊得

R[R]＋G[G]＋B[B]＝（0.4185X－0.1587Y－0.0828Z）[R]

＋（－0.0912X＋0.2524Y＋0.0157Z）[G]

＋（0.0009X－0.0025Y＋0.1786Z）[B]

從式（2.2-26b）和式（2.2-29b）、式（2.2-27b）和式（2.2-30b）可以看出：矩陣[A]和、和都互為轉(zhuǎn)置矩陣；而[A]與，和都互為逆矩陣。所以在上述四個(gè)矩陣中，知其一，可求其三。

三、分布色系數(shù)與混色曲線

與RGB計(jì)色制相似，XYZ計(jì)色制的分布色系數(shù)也是指配出輻射功率為1瓦的譜色光所需要的[X]，[Y]，[Z]的數(shù)量，并分別用，，表示。它們不能用配色試驗(yàn)得出，而是由經(jīng)計(jì)算得到的。

由于式（2.2-29）和式（2.2-30）適用于求任意彩色的色系數(shù)，分布色系數(shù)是色系數(shù)中的一種特殊情況，因此

以上兩式中和的數(shù)據(jù)見式（2.2-29b）和式（2.2-30b）。根據(jù)表2-1的數(shù)據(jù)，可求出，，的數(shù)據(jù)和曲線（混色曲線），分別如表2－4和圖2.2-8所示。從中可以看出：，，均為非負(fù)數(shù)，滿足制定XYZ計(jì)色數(shù)的第一條規(guī)定； 曲線和相對(duì)視敏函數(shù)V（l ）曲線一致，這說明彩色的亮度僅由色系數(shù)Y決定，這與制定XYZ計(jì)色制的第二條規(guī)定相一致。

與RGB制類似，若已知某彩色光的功率譜為P（l ），則其三個(gè)色系數(shù)，

對(duì)于等能白光E白，P（l ）＝常數(shù)，又X＝Y(jié)＝Z，故三條曲線下的面積相等。

四、相對(duì)色系數(shù)與CIE色度圖

與RGB制相類似，彩色的色度也只取決于X、Y、Z的比值，故引入相對(duì)系數(shù)（或色度坐標(biāo)）x、y、z和色模m'，它們分別為

顯然，x＋y＋z＝1 （2.2-35）

F＝X[X]＋Y[Y]＋Z[Z]＝ （2.2-36）

上式中，利用上式可求出各譜色光的色度坐標(biāo)值如表2-4所示。

與RGB計(jì)色制相類似，可將自然界所有顏色表示在xy直角坐標(biāo)系中，這就是國際上通用的CIE色度圖，如圖2.2-9所示。它的用途極廣，是色度學(xué)中有用的工具。對(duì)于任意功率譜的彩色，其色度坐標(biāo)可用式（2.2-33）和式（2.2-34）求出；或者先求它們的RGB制的色系數(shù)R、G、B，然后再利用坐標(biāo)變換成X、Y、Z或x、y、z。

五、彩色的合成

與RGB制相仿，可用計(jì)算法或圖解法求解彩色合成的問題。

與RGB制不同，XYZ制常用F（x，y，Y）來表示某一彩色，其中x，y表示色度坐標(biāo)，Y代表亮度。

1、計(jì)算法：若已知兩個(gè)色光為和則合成彩色可用

表示，其中

2、圖解法：合成光位于兩個(gè)混合色光、的連線上，它到和兩點(diǎn)的距離之比等于，具體作圖求解方法與RGB制完全相同，此處不再贅述。

六、主色波長和色純度

1、主色波長與補(bǔ)色波長

在圖2.2-10中設(shè)位置是W點(diǎn)，對(duì)于任意彩色，射線W與譜色軌跡相交于點(diǎn)，點(diǎn)的譜色波長為，稱為彩色的主色波長；的反延長線與譜色軌跡相交于點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的譜色波長，稱為彩色的補(bǔ)色波長。對(duì)于位于線段上的彩色，它的主色波長是，而補(bǔ)色波長為。由于D RWB（R點(diǎn)和B點(diǎn)分別指譜色軌跡上780nm和380nm兩點(diǎn)）內(nèi)和線段上的彩色均為非譜色，故彩色無主色波長，只有用它的補(bǔ)色波長（即彩色的主色波長），間接表示它的色調(diào)。

2、等色調(diào)波長線和等飽和度線

在線段上各點(diǎn)的色調(diào)都與波長為的色調(diào)相同，只是色純度各異。越靠近譜色軌跡，色純度越高；愈靠近白光W點(diǎn)，色純度愈低；白光W的飽和度等于零。稱為等調(diào)波長線（或主色波長線），同樣，線段，，…都稱為等色調(diào)波長線。任一彩色的色純度

上式中，和分別為白光W，彩色C和譜色P三點(diǎn)的色度坐標(biāo)。當(dāng)?shù)壬{(diào)波長線近乎平行x軸時(shí)，只能用式（2.2-39a），當(dāng)它近乎平等y軸時(shí)，只能用式（2.2-39b）。在非上述情況下，兩式均可任意選用。

由波長不同但色飽和度相同的各點(diǎn)連成的曲線稱為等飽和度線。若彩色的主色（或補(bǔ)色）波長和飽和度已知，則其色度被確定。應(yīng)注意：彩色的主色波長和飽和度，隨基準(zhǔn)白光的不同而各異。例如某點(diǎn)色度坐標(biāo)為x＝0.2000，y＝0.650。若選E白作基準(zhǔn)白光，＝526.7nm，＝0.651；而選C白作基準(zhǔn)白光時(shí)，＝529.1nm，＝0.671。某一顏色的色調(diào)和色飽和度跟它的色坐標(biāo)之間的關(guān)系，類似解析幾何中極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系。

七、色域圖

各種顏色在色度圖上的位置，可用圖2.2-9所示的色域圖表示，該圖分成許多小區(qū)，每一小區(qū)代表一種顏色。

各種顏色的色度，無論是用色度坐標(biāo)或用主色波長和色純度來表示，均需兩個(gè)參量，方能確定。但對(duì)于譜色軌跡上的譜色光，因其色飽和度更高都等于1，所以只需知其波長就能確定它的色度坐標(biāo)。

2.2.3 均勻色標(biāo)制

一、剛辨差（JND）與均勻色標(biāo)制的提出

由人眼分辨顏色變化的能力是有限的，故對(duì)色度差很小的兩種顏色，人眼分辨不出它們的差異。只有當(dāng)色度差增大到一定數(shù)值時(shí)，人眼才能覺察出它們的差異，人眼剛剛能覺察出顏色差別所對(duì)應(yīng)的色度差稱為剛辨差JND（Just Noticable Diference）。通過實(shí)驗(yàn)表明：在CIE色度圖上，不同位置或者同一位置的不同方向，人眼的剛辨差是不相同的。1942年麥克亞當(dāng)（Macadam）對(duì)25種色光進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，在每個(gè)色光點(diǎn)大約沿5到9個(gè)對(duì)側(cè)方向上測量剛辨差。結(jié)果得到的是一些面積大小各異、長短軸不等的橢圓，稱為麥克亞當(dāng)橢圓，如圖2.2-11中，不同位置的麥克亞當(dāng)橢圓面積相差很大，靠近520nm處的橢圓面積大約是400nm處隨圓面積的20倍。這表明人眼對(duì)藍(lán)色區(qū)域顏色變化相當(dāng)敏感，而對(duì)飽和度較高的黃、綠、青部分的顏色變化不太敏感。對(duì)于面積大小相同的區(qū)間，在藍(lán)色部分比綠色部分，人眼能分辨出更多的顏色。在XYZ計(jì)色坐標(biāo)系中，剛辨差的不均勻性給顏色的計(jì)量與復(fù)現(xiàn)工作造成麻煩。人們?cè)?jīng)作過試探，將CIE－XYZ色坐標(biāo)系經(jīng)過一定的線性變換（或投影變換），企圖使整個(gè)色域內(nèi)各點(diǎn)的剛辨差相等，麥克亞當(dāng)橢圓都變成半徑相等的圓。試探結(jié)果表明，上述設(shè)想是無法實(shí)現(xiàn)的。但是經(jīng)過某種投影變換，能使各點(diǎn)的剛辨差的均勻性比XYZ計(jì)色坐標(biāo)系要好得多，這就是均勻色標(biāo)系統(tǒng)（制）。

二、均勻色標(biāo)制

均勻色標(biāo)系統(tǒng)又稱為UCS（Uniform Chromaticity Scale）制，1960年它被CIE正式承認(rèn)采用。在UCS制中，規(guī)定均勻色度坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為u，縱坐標(biāo)為v，而u和v都是從x和y值的線性變換得來的，其相互關(guān)系是：

根據(jù)式（2.2-41a）將CIE色度圖變成用m －坐標(biāo)表示的色度圖，如圖2.2-12所示。因?yàn)槭蔷€性關(guān)系，所以CIE色度圖中的直線變換到m －坐標(biāo)中仍是直線。由圖可見，原來25種色光的麥克亞當(dāng)橢圓向圓的方向靠近，各圓的大小差別也變小了。從而使得人眼在視覺上差別相等的顏色，在m －坐標(biāo)上大致是等距的，這有利于人們根據(jù)不同顏色的色度差來判斷兩者顏色的差別，對(duì)顏色計(jì)量與重現(xiàn)工作帶來方便，特別是，用來作為制定產(chǎn)品顏色公差的依據(jù)。通常規(guī)定剛辨差的量值單位為JND，在UCS制中，1JND＝0.00384UCS坐標(biāo)線段值。設(shè)兩色坐標(biāo)的設(shè)計(jì)值、。實(shí)際測量值為、。則設(shè)計(jì)誤差為